Ещё в уроке: взаимно обратные задачи (овцы, велосипедист), деление с остатком, порядок действий
Объединение множеств A и B — это новое множество. В него входят все элементы A и все элементы B. Если элемент есть в обоих, его пишут один раз. Обозначают знаком ∪.
Нажимай кнопки: A, B, общее и всё вместе.
Сложи количество элементов A и B и вычти общие. Общие элементы посчитали два раза, поэтому один раз их убираем.
Построй диаграмму A и B. Область A раскрась жёлтым, область B — синим. Всю закрашенную область обведи красным: это объединение.
Там, где круги заходят друг на друга, жёлтый и синий смешаются и получится зелёный. Это общая часть, пересечение. Красная линия идёт только по внешнему краю обоих кругов: всё, что внутри, и есть A ∪ B.
Как проверить: в схеме вверху урока нажми «A ∪ B». Раскраска будет как в тетради.
Шахматно-шашечный турнир. A — победители шахматного турнира, B — шашечного. Назови элементы A и B. Чему равно их объединение? Как найти его без диаграммы?
A = {Петя; Миша; Коля}
B = {Коля; Саша; Дима}
A ∪ B = {Петя; Миша; Коля; Саша; Дима}
Коля победил в обоих турнирах, но в объединение мы пишем его один раз. Поэтому элементов 5, а не 6.
Вывод: чтобы найти объединение, выписываем все элементы A и добавляем элементы B, которых нет в A.
Имена взяты из решебника. Если на рисунке в учебнике другие, решение то же.
A — люди, которые умеют плавать, B — люди, которые умеют играть на скрипке. Что такое A ∩ B и A ∪ B?
A ∩ B — люди, которые умеют и плавать, и играть на скрипке.
A ∪ B — люди, которые умеют плавать или играть на скрипке, то есть хотя бы одно из двух.
∩ — «и», ∪ — «или»
C = {1; 3; 5; 7}, D = {4; 5; 6}. Найди C ∪ D. Построй диаграмму, отметь элементы, обведи C ∪ D.
Ответ: C ∪ D = {1; 3; 4; 5; 6; 7}.
В решебнике написано C ∪ D = {5}. Это неверно: {5} — пересечение C ∩ D, общий элемент. Объединение — все числа из обоих множеств.
M = {а; е; м; к}, E = {а; б; м}. Найди M ∩ E и M ∪ E. Нарисуй диаграмму, закрась M ∩ E, обведи M ∪ E.
M ∩ E = {а; м}
M ∪ E = {а; е; м; к; б}
Порядок элементов в фигурных скобках не важен: {а; б; е; к; м} — то же самое множество.
Нарисуй диаграмму A и B, закрась A ∩ B и обведи A ∪ B.
Множества даны только на картинке в учебнике. Способ тот же, что в № 4 и 5: общие элементы ставим в середину, где круги пересекаются, и закрашиваем эту часть. Потом обводим внешний край обоих кругов.
Пришлите фото страницы, и я разберу этот номер точно.
а) С трёх одинаковых овец состригли 18 кг шерсти. Сколько таких овец надо постричь, чтобы получить 72 кг шерсти?
б) С трёх одинаковых овец состригли 18 кг шерсти. Сколько килограммов шерсти можно состричь с 12 таких овец?
Сравни задачи. Как их называют?
Сначала узнаём, сколько шерсти с одной овцы: 18 : 3 = 6 (кг).
а) Сколько раз по 6 кг уложится в 72 кг?
б) С 12 овец — в 12 раз больше, чем с одной:
Ответ: а) 12 овец; б) 72 кг.
Сравним. В задачах одни и те же величины: шерсть с одной овцы, число овец, вся шерсть. Но то, что в задаче а) было известно (72 кг), в задаче б) ищут. А то, что в а) искали (12 овец), в б) дано. Такие задачи называют взаимно обратными.
В решебнике записано 72 : 18 : 3. Без скобок действия выполняют слева направо, и получится 72 : 18 = 4, потом 4 : 3 — не делится. Нужны скобки: 72 : (18 : 3).
Составь и реши взаимно обратные задачи по выражениям (28 : 4) · 8 и 56 : (28 : 4).
Сначала решим, что значат числа. 28 : 4 — это «сколько в одном». Например, в 4 одинаковых коробках 28 карандашей, значит, в одной 7.
Задача 1. В 4 одинаковых коробках 28 карандашей. Сколько карандашей в 8 таких коробках?
Задача 2. В 4 одинаковых коробках 28 карандашей. Сколько нужно таких коробок, чтобы разложить 56 карандашей?
Ответ первой задачи (56) стал данным во второй. Значит, они взаимно обратные.
Сюжет можно придумать любой: овцы, ящики, пакеты. Главное, чтобы «в одном» было одинаково.
а) Велосипедист проехал за 2 часа 30 км. За сколько часов, двигаясь так же, он преодолеет 90 км?
б) Составь обратную задачу, которая решается так: (30 : 2) · 15.
а) Скорость: 30 : 2 = 15 (км/ч). Сколько раз по 15 км уложится в 90 км?
б) Велосипедист проехал за 2 часа 30 км. Сколько километров он проедет за 15 часов, если будет ехать с той же скоростью?
Ответ: а) за 6 часов; б) 225 км.
Число 15 тут два раза: 15 км/ч — скорость, 15 ч — время.
Подробный разбор этой задачи — с дорогой по часам и частыми ошибками
а) Пони съедает в неделю c кг травы. На сколько дней хватит запаса в d кг, если в день он ест одинаково? (c = 98, d = 420)
б) В n одинаковых бочек вошло 96 кг огурцов. Сколько таких бочек нужно для a кг огурцов? (n = 3, a = 320)
С буквами решаем так же, как с числами. Сначала — «сколько в одном».
а) В неделе 7 дней. Этого числа нет в условии, его надо вспомнить. За день пони съедает c : 7 кг.
420 : (98 : 7) = 420 : 14 = 30 (дн.)
б) В одной бочке 96 : n кг.
320 : (96 : 3) = 320 : 32 = 10 (боч.)
Ответ: а) на 30 дней; б) 10 бочек.
В решебнике выражения без скобок: d : c : 7 и a : 96 : n. Так писать нельзя, по порядку действий получится другое число. Правильно: d : (c : 7) и a : (96 : n).
Вычисли и объясни приёмы вычислений.
| Пример | Как считаем | Ответ |
|---|---|---|
| 48 · 5 | (40 + 8) · 5 = 200 + 40 | 240 |
| 92 : 4 | (80 + 12) : 4 = 20 + 3 | 23 |
| 56 : 14 | подбор: 14 · 4 = 56 | 4 |
| 30 · 9 | 3 · 9 = 27, приписываем 0 | 270 |
| 850 : 5 | (500 + 350) : 5 = 100 + 70 | 170 |
| 3 · 74 | 3 · 70 + 3 · 4 = 210 + 12 | 222 |
| 84 : 7 | (70 + 14) : 7 = 10 + 2 | 12 |
| 98 : 49 | подбор: 49 · 2 = 98 | 2 |
| 8 · 120 | 8 · 12 = 96, приписываем 0 | 960 |
| 720 : 60 | 72 дес. : 6 дес. = 72 : 6 | 12 |
Три главных приёма: разбить число на удобные слагаемые; подобрать множитель; убрать или приписать нули.
а) Составь множество двузначных чисел, кратных 14. б) Выполни деление с остатком: 45 : 14, 60 : 14, 78 : 14, 86 : 14. в) Выучи двузначные числа, кратные 14.
а) Прибавляем по 14, пока число двузначное:
{14; 28; 42; 56; 70; 84; 98}
В решебнике добавлены 112, 126 и 140. Это трёхзначные числа, в ответ они не входят.
б) Ищем ближайшее меньшее число из ряда кратных 14:
45 : 14 = 3 (ост. 3) — 14 · 3 = 42
60 : 14 = 4 (ост. 4) — 14 · 4 = 56
78 : 14 = 5 (ост. 8) — 14 · 5 = 70
86 : 14 = 6 (ост. 2) — 14 · 6 = 84
Остаток всегда меньше делителя: меньше 14!
Составь программу действий и вычисли.
1) 714 − 649 = 65
2) 65 · 7 = 455
3) 95 : 19 = 5
4) 68 : 2 = 34
5) 5 · 34 = 170
6) 455 − 170 = 285
1) 532 − 478 = 54
2) 6 · 54 = 324
3) 38 · 7 = 266
4) 300 − 266 = 34
5) 34 : 17 = 2
6) 2 · 100 = 200
7) 324 + 200 = 524
Ответ: а) 285; б) 524.
Порядок: сначала скобки, потом умножение и деление слева направо, в конце сложение и вычитание.
а) В M 5 элементов, в K — 4, в M ∩ K — 2. Сколько элементов в M ∪ K?
б) В A a элементов, в B — b, в A ∩ B — c. Сколько элементов в A ∪ B?
Общие элементы есть и в M, и в K. Если просто сложить 5 + 4, их посчитают два раза.
а) 5 + 4 − 2 = 7 (эл.)
б) a + b − c
В решебнике ответы 9 и a + b. Это неверно: забыли вычесть общие элементы.
Английский изучают 25 детей, немецкий — 27, оба языка — 18. Сколько детей изучают эти языки всего? Сколько изучают только один язык?
Сначала узнаём, сколько детей изучают только один язык:
25 − 18 = 7 — только английский
27 − 18 = 9 — только немецкий
7 + 9 = 16 — только один язык
25 + 27 − 18 = 34 — всего
Ответ: всего 34 ребёнка; только один язык изучают 16.
В решебнике «всего 52» и «один язык 34». Оба ответа неверны: 18 детей посчитаны дважды.
Сколько элементов в множестве букв высказывания «Учить — ум точить»? Запиши его в фигурных скобках.
Выписываем буквы по порядку и пропускаем те, что уже встречались: у, ч, и, т, ь, у, м, т, о, ч, и, т, ь.
{у; ч; и; т; ь; м; о}
Ответ: 7 элементов.
Большая «У» и маленькая «у» — одна и та же буква, её пишем один раз.
Выражение запиши в тетради, а сюда впиши только число.
A = {2; 4; 6; 8}, B = {6; 8; 10}. Сколько элементов в A ∪ B?
В бассейн ходят 12 детей, на футбол — 9, в обе секции — 4. Сколько детей ходят хотя бы в одну секцию?
За 3 одинаковые коробки конфет заплатили 240 руб. Сколько стоят 5 таких коробок?
За 3 одинаковые коробки конфет заплатили 240 руб. Сколько таких коробок можно купить на 400 руб.?