Ещё в уроке: свойства сложения, умножения и пересечения, диаграммы трёх множеств
Главное
Объединять можно в любом порядке
Как бы мы ни объединяли множества — сначала A, потом B, или наоборот, — результат один и тот же. У объединения те же два свойства, что у сложения, умножения и пересечения.
Переместительное
A ∪ B = B ∪ A — множества можно поменять местами.
Сочетательное
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) — скобки можно расставить по-разному.
Запиши с помощью букв переместительное и сочетательное свойства указанных действий: сложение, умножение, пересечение множеств.
Действие
Переместительное
Сочетательное
сложение
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
умножение
a · b = b · a
(a · b) · c = a · (b · c)
пересечение
A ∩ B = B ∩ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Числа обозначаем маленькими буквами (a, b, c), множества — большими (A, B, C). Сочетательное свойство можно записать и справа налево: a + (b + c) = (a + b) + c — это то же самое.
№ 2по рисунку
а) Обладает ли объединение множеств переместительным и сочетательным свойствами? Попробуй записать своё предположение в виде буквенных равенств. Что ты пока не знаешь? Поставь перед собой цель и составь план. б) Раскрась на диаграммах указанные множества: A ∪ B и B ∪ A; (A ∪ B) ∪ C и A ∪ (B ∪ C). Сравни рисунки и сделай выводы. Проверь свои выводы по учебнику, с. 44. Если надо, исправь ошибки.
а) Предположение. Объединение, как сложение, обладает обоими свойствами:
A ∪ B = B ∪ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Что пока не знаю: верны ли эти равенства на самом деле, для любых множеств.
Цель: проверить, обладает ли объединение множеств переместительным и сочетательным свойствами.
План: 1) раскрасить на диаграммах A ∪ B и B ∪ A и сравнить; 2) раскрасить (A ∪ B) ∪ C и A ∪ (B ∪ C) и сравнить; 3) сделать вывод; 4) проверить вывод по учебнику.
б) Объединение — это все элементы обоих множеств, поэтому раскрашиваем каждый овал целиком, вместе с общей частью.
A ∪ B=B ∪ A
Вывод: A ∪ B = B ∪ A — результат объединения не зависит от порядка множеств.
Для трёх кругов: в (A ∪ B) ∪ C сначала раскрашиваем A и B, потом добавляем C; в A ∪ (B ∪ C) сначала B и C, потом добавляем A. В обоих случаях закрашены все три круга целиком.
(A ∪ B) ∪ C=A ∪ (B ∪ C)
Вывод: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) — результат объединения не зависит от порядка действий. Объединение множеств обладает переместительным и сочетательным свойствами, предположение подтвердилось.
Цвета на рисунках разные только для того, чтобы видеть порядок действий. Сравниваем, что закрашено: красная граница в обоих случаях одна и та же. Сверьте с рисунком в тетради: там овалы и круги расположены так же.
№ 3
Допиши переместительное и сочетательное свойства объединения множеств: D ∪ E = …; (D ∪ E) ∪ F = …
D ∪ E = E ∪ D — переместительное
(D ∪ E) ∪ F = D ∪ (E ∪ F) — сочетательное
Буквы другие, а свойства те же, что в № 2. В сочетательном свойстве порядок букв не меняется — переезжают только скобки.
№ 4по рисункуошибка в решебнике
Обведи на диаграмме указанные множества красным карандашом: (A ∩ B) ∪ C; A ∪ (B ∩ C).
На каждой диаграмме три пересекающихся круга: A и B вверху, C внизу. Сначала находим действие в скобках, потом второе действие.
(A ∩ B) ∪ C. A ∩ B — общая часть кругов A и B (её форма — «долька» посередине вверху). К ней добавляем весь круг C. Красная линия идёт по всему кругу C, а сверху огибает дольку A ∩ B.
A ∪ (B ∩ C). B ∩ C — общая часть кругов B и C. К ней добавляем весь круг A. Красная линия идёт по всему кругу A, а справа внизу огибает ту часть дольки B ∩ C, которая выходит за круг A.
(A ∩ B) ∪ CA ∪ (B ∩ C)
Ответ: обвести красным контур закрашенной части — на первой диаграмме весь круг C вместе с долькой A ∩ B, на второй — весь круг A вместе с кусочком B ∩ C. Сверьте с рисунком в тетради.
В одном решебнике для (A ∩ B) ∪ C закрашена только середина, где пересекаются все три круга. Это (A ∩ B) ∩ C. Знак ∪ значит «добавить весь круг C», поэтому круг C должен войти целиком.
Закрашивать в этом номере не нужно — только обвести. Мы закрасили, чтобы граница была заметнее.
Проверь себя
Реши сам
Выпиши множества в тетради, а сюда впиши только число.
A = {а, б, в, г}, B = {в, г, д}. Сколько элементов в B ∪ A?
эл.
A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}, C = {4, 5, 6}. Сколько элементов в (A ∪ B) ∪ C?
эл.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, C = {5, 6}. Сколько элементов в (A ∩ B) ∪ C?
эл.
Те же множества: A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}, C = {5, 6}. Сколько элементов в A ∪ (B ∩ C)?
эл.
Вычисли удобным способом: 4 · 17 · 25.
Для родителей
На что смотреть
Тетрадь идёт урок в урок с учебником: этот лист — к уроку 17. Таблица свойств есть в учебнике на с. 44.
Чаще всего путают ∩ и ∪. Подсказка: ∩ — «и там, и там» (только общее), ∪ — «хотя бы в одном» (всё вместе).
В № 4 проверьте, что в первом рисунке обведён весь круг C, а во втором — весь круг A, а не только середина.
В № 2 а) нет единственно верного плана. Засчитывайте любой разумный: предположить, проверить на рисунках, сделать вывод, сверить с учебником.