Ещё в уроке: удобные способы счёта, задачи «сколько в одном», деление с остатком, доли
Как бы мы ни объединяли множества, сначала A, потом B, или наоборот, результат получится один и тот же. Это те же два свойства, что у сложения и умножения чисел.
| Действие | Переместительное | Сочетательное |
|---|---|---|
| сложение | a + b = b + a | (a + b) + c = a + (b + c) |
| умножение | a · b = b · a | (a · b) · c = a · (b · c) |
| пересечение | A ∩ B = B ∩ A | (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) |
| объединение | A ∪ B = B ∪ A | (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) |
А вычитание и деление этих свойств не имеют!
7 − 3 = 4, а 3 − 7 из натуральных чисел не вычесть. (16 : 4) : 2 = 2, а 16 : (4 : 2) = 8.
Сравни равенства в столбцах и строках: a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a · b = b · a; (a · b) · c = a · (b · c); A ∩ B = B ∩ A; (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Какие свойства они выражают? Все ли действия над числами обладают этими свойствами?
Первый столбец — переместительное свойство: от перестановки результат не меняется. Второй столбец — сочетательное: можно по-разному объединять в скобки.
Не все действия: у вычитания и деления этих свойств нет. Примеры — в таблице вверху.
A = {к; м; п}, B = {а; м; к; р}. Запиши A ∪ B и B ∪ A, покажи на диаграмме, сделай вывод.
A ∪ B = {к; м; п; а; р}
B ∪ A = {а; м; к; р; п}
Вывод: в обоих множествах одни и те же буквы, значит, A ∪ B = B ∪ A.
В решебнике A ∪ B = {к; м}. Это пересечение, общие буквы. В объединении — все буквы обоих множеств.
Нарисуй диаграмму A, B и C. Закрась сначала A ∪ B, потом C и обведи (A ∪ B) ∪ C. Так же построй A ∪ (B ∪ C). Сравни.
Раскрашивали в разном порядке, но красная граница одна и та же: закрашены все три круга целиком.
Вывод: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). Скобки можно ставить как удобно, поэтому пишут просто A ∪ B ∪ C.
Допиши равенства: M ∪ K = … ; (M ∪ K) ∪ T = … Назови свойства и объясни их смысл.
M ∪ K = K ∪ M — переместительное
(M ∪ K) ∪ T = M ∪ (K ∪ T) — сочетательное
Смысл: результат объединения не зависит ни от порядка множеств, ни от того, какие два мы объединяем первыми.
Запиши с помощью знаков ∩ и ∪, какие множества закрашены на рисунке.
Смотри, что закрашено:
По решебнику в ответе: A ∩ B, D ∩ F, F ∩ E, D ∪ E, K ∩ M, K ∩ N, N ∩ M. Сверьте с рисунком: решебник часто путает ∩ и ∪. Пришлите фото — проверю.
а) A — машины, B — легковые машины, C — машины красного цвета, D — гаражи. Где на диаграмме каждое множество? Что означает закрашенная часть?
б) A — цветы, B — розы, C — жёлтые цветы, D — деревья. Нарисуй диаграмму и закрась множество жёлтых роз.
б) Розы (B) и жёлтые цветы (C) — это цветы, поэтому оба круга внутри большого круга A. Бывают жёлтые розы, значит, B и C пересекаются. Деревья (D) — не цветы, их круг отдельно.
Жёлтые розы — пересечение B ∩ C, закрашено зелёным.
а) Устроено так же: B (легковые) и C (красные) внутри A (машины) и пересекаются, D (гаражи) отдельно. Закрашенная часть B ∩ C — красные легковые машины.
Вычисли удобным способом и назови свойства: а) (373 + 56) + 127; 602 + (98 + 245); 84 + 71 + 429 + 16; б) 2 · 39 · 2 · 5 · 5; 25 · 7 · 4; 16 · 35.
Ищем пары, которые дают круглое число, и переставляем их поближе.
(373 + 127) + 56 = 500 + 56 = 556
(602 + 98) + 245 = 700 + 245 = 945
(84 + 16) + (71 + 429) = 100 + 500 = 600
39 · (2 · 5) · (2 · 5) = 39 · 100 = 3900
(25 · 4) · 7 = 100 · 7 = 700
16 · 35 = 8 · (2 · 35) = 8 · 70 = 560
Свойства: переместительное и сочетательное — для сложения и для умножения.
В решебнике (373 + 56) + 127 = 456. Правильно 556: 373 + 127 = 500, и ещё 56.
а) В 4 одинаковых коробках 24 карандаша. Сколько карандашей в 9 таких коробках?
б) На 5 одинаковых костюмов пошло 35 м ткани. Сколько таких костюмов можно сшить из 56 м?
в) У дома 8 тополей, а лип в 2 раза меньше. Сколько всего лип и тополей?
г) Саша купил 4 пирожка по 16 р. и 2 буханки хлеба по 18 р. Сколько он заплатил?
а) (24 : 4) · 9 = 6 · 9 = 54 (кар.)
б) 56 : (35 : 5) = 56 : 7 = 8 (кост.)
в) 8 + 8 : 2 = 8 + 4 = 12 (дер.)
г) 16 · 4 + 18 · 2 = 64 + 36 = 100 (р.)
Ответ: а) 54 карандаша; б) 8 костюмов; в) 12 деревьев; г) 100 р.
В решебнике в г) ответ 72 р. Правильно 100 р.: пирожки стоят 64 р., хлеб 36 р. А в б) у них запись 56 : 35 : 5 без скобок — ответ верный, но так писать нельзя.
Вместо некоторых цифр стоят звёздочки. Объясни, почему равенства неверны.
Ничего не вычисляя, проверяем две вещи: последнюю цифру и сколько цифр может быть в ответе.
В решебнике звёздочки записаны неаккуратно. Если в учебнике равенства другие, пришлите фото.
а) Составь множество двузначных чисел, кратных 15. б) Выполни деление с остатком: 34 : 15; 47 : 15; 76 : 15; 98 : 15. в) Выучи двузначные числа, кратные 15.
а) {15; 30; 45; 60; 75; 90}
В решебнике добавлены 105, 120, 135, 150. Они трёхзначные и в ответ не входят.
34 : 15 = 2 (ост. 4) — 15 · 2 = 30
47 : 15 = 3 (ост. 2) — 15 · 3 = 45
76 : 15 = 5 (ост. 1) — 15 · 5 = 75
98 : 15 = 6 (ост. 8) — 15 · 6 = 90
Остаток меньше 15!
Найди значения выражений.
1) 80 : 4 = 20
2) 60 : 30 = 2
3) 20 − 2 = 18
4) 18 · 5 = 90
5) 96 : 3 = 32
6) 90 + 32 = 122
7) 122 − 117 = 5
1) 56 : 4 = 14
2) 120 : 6 = 20
3) 80 : 20 = 4
4) 20 − 4 = 16
5) 2 · 16 = 32
6) 17 · 8 = 136
7) 14 + 32 = 46
8) 46 + 136 = 182
Ответ: а) 5; б) 182.
В решебнике в а) ответ 122. Там забыли последнее действие: вычесть 117.
Составь верное высказывание: «В квадрате … закрашена ровно треть клеточек».
В каждом квадрате посчитай все клетки и закрашенные. Треть — это когда закрашенных ровно в 3 раза меньше, чем всех: например, 3 из 9.
По решебнику ответ — квадрат E. Проверьте подсчётом по рисунку.
Построй прямоугольник шириной 3 клетки и длиной 4 клетки. Закрась ровно: а) половину клеточек; б) треть; в) четверть; г) шестую часть.
Всего клеток 3 · 4 = 12. Чтобы найти часть, делим 12 на столько частей, сколько сказано.
а) 12 : 2 = 6 (кл.) — половина
б) 12 : 3 = 4 (кл.) — треть
в) 12 : 4 = 3 (кл.) — четверть
г) 12 : 6 = 2 (кл.) — шестая часть
Закрашивать можно любые клетки, главное — нужное количество.
Какие фигуры надо поставить вместо вопросительных знаков?
Ищи, что меняется от фигуры к фигуре: форма, цвет, размер или число элементов. Обычно меняется что-то одно по кругу.
Задание целиком на картинке. Пришлите фото, и я разберу закономерность.
Считай удобным способом в тетради, а сюда впиши только число.
A = {а; б; в}, B = {в; г}. Сколько элементов в B ∪ A?
25 · 9 · 4
46 + 38 + 54
Прямоугольник 4 × 5 клеток. Сколько клеток составляют четверть?