Обратные задачи на приведение к единице

а) Задача. Три одинаковых торта весят 12 кг. Сколько весят 5 таких тортов?

б) Задача. Три одинаковых торта весят 12 кг. Сколько таких тортов весят 20 кг?

Дополняем таблицы: вписываем массу одного торта (последний столбец) и ответ задачи (выделен жирным).

Схема. Отрезок из 3 равных частей — 12 кг, одна часть — масса одного торта. В а) рисуем отрезок из 5 таких частей и ищем его длину. В б) отрезок 20 кг делим на части по 4 кг и считаем, сколько их.

а) Способ 1 — через один торт:

1. 12 : 3 = 4 (кг) — весит один торт
2. 4 · 5 = 20 (кг) — весят 5 тортов

а) Способ 2 — 5 тортов — это 3 торта да ещё 2:

12 + 12 : 3 · 2 = 12 + 8 = 20 (кг) — к 12 кг прибавили массу двух тортов

б) Способ 1 — через один торт:

1. 12 : 3 = 4 (кг) — весит один торт
2. 20 : 4 = 5 (тортов) — столько раз по 4 кг в 20 кг

б) Способ 2 — сколько тортов сверх трёх:

3 + (20 − 12) : (12 : 3) = 3 + 8 : 4 = 3 + 2 = 5 (тортов) — 8 кг приходится ещё на 2 торта

Ответ: а) 20 кг; б) 5 тортов.

Сравниваем. В обеих задачах те же величины: масса одного торта, число тортов, общая масса. В а) дано число тортов (5) и ищут массу, в б) дана масса (20 кг) и ищут число тортов. Ответ одной задачи — данное другой. Такие задачи называют взаимно обратными.

Особенность обратной задачи. Первое действие то же самое — находим, сколько весит один торт (12 : 3 = 4). А вторым действием не умножаем, а делим: узнаём, сколько раз по 4 кг уложится в 20 кг.

Сверьте с таблицей и схемой в тетради: если в вашей таблице другие столбцы, впишите туда те же числа — 4 кг в одном торте, 20 кг и 5 тортов.

Насос работает так же — значит, за минуту он выкачивает одинаково. Это и ищем первым.

1. 60 : 5 = 12 (л) — выкачивает за 1 минуту
2. 96 : 12 = 8 (мин) — столько раз по 12 л в 96 л

Ответ: за 8 минут.

96 : 12 = 8, потому что 12 · 8 = 96. Проверка: за 8 минут по 12 л — это 96 л.

Сначала узнаём, сколько шурупов нужно на один стол: 260 : 13. Потом — сколько раз это число уложится в 140.

260 : 13 = 20 — ведь 13 · 2 = 26, значит, 13 · 20 = 260

140 : 20 = 7 — 14 дес. : 2 дес.

Ответ: 7 столов.

Помним: 1 м = 100 см, 1 дм = 10 см.

Ответ: а) 9 дм 3 см; б) 4 дм; в) 4 дм; г) 5 дм 6 см.

В метры здесь ничего не переводится: все ответы меньше 100 см, то есть меньше 1 м. Поэтому самые крупные единицы — дециметры.

В одном из решебников ответы оставлены в сантиметрах: 93 см, 40 см, 40 см, 56 см. А в условии сказано записать ответ в возможно более крупных единицах. Верно: 9 дм 3 см, 4 дм, 4 дм, 5 дм 6 см.

Знак ∩ — закрашиваем только общую часть фигур.

В б) F — подмножество D, поэтому F ∩ D = F. Если одно множество целиком лежит в другом, их пересечение — меньшее множество. Сверьте с рисунком в тетради.

На рисунке: большой овал D, внутри него два пересекающихся круга E и F и отдельный круг K. В E — точки f, y, 7; в F — y, 7, 12; y и 7 лежат в общей части E и F. В K — точка m. Точка 5 внутри D, но вне E, F и K.

D = {f; y; 7; 12; m; 5} — все точки внутри большого овала

E = {f; y; 7}

F = {y; 7; 12}

K = {m}

E ∩ F = {y; 7}

Порядок элементов в фигурных скобках может быть любым. Сверьте с рисунком в тетради, какие буквы и числа стоят в каждом круге.

1. 42 − 6 = 36 — первые скобки
2. 56 : 7 = 8 — во вторых скобках сначала деление
3. 1 · 12 = 12 — и умножение
4. 8 + 12 = 20
5. 350 : 70 = 5 — 35 дес. : 7 дес.
6. 5 · 36 = 180
7. 9 · 20 = 180
8. 180 − 180 = 0

Ответ: 0.

Над знаками в тетради: над «−» в первых скобках — 1, над «:» во вторых скобках — 2, над «·» в скобках — 3, над «+» — 4, над первым «:» — 5, над «·» перед скобкой — 6, над «·» после 9 — 7, над «−» между частями — 8.

Про каждое число задаём три вопроса: двузначное ли оно? меньше ли 150? делится ли 60 на него без остатка?

60 : 3 = 20, 60 : 20 = 3 — 3 и 20 делители числа 60

А 60 на 7 и на 56 без остатка не делится, и 123 больше 60. Поэтому 7, 56 и 123 — не делители числа 60.

Как нарисовать. Любое двузначное число меньше 150, и любой делитель числа 60 меньше 150. Значит, A и C целиком лежат внутри B. Рисуем большой овал B, а в нём два пересекающихся овала A и C.

20 — в общей части A и C (там же внутри B)

56 — в A, но не в C

3 — в C, но не в A

7 и 123 — внутри B, но вне A и C

Можно нарисовать и три пересекающихся круга, как обычно. Тогда части A и C, которые выходят за B, останутся пустыми: таких чисел нет. Главное — каждое число стоит в нужной части.