Свойства пересечения множеств*

a + b = b + a — переместительное свойство сложения

От перестановки слагаемых сумма не меняется. Пример:

5 + 6 = 6 + 5 — 11 и 11

a · b = b · a — переместительное свойство умножения

От перестановки множителей произведение не меняется. Пример:

3 · 7 = 7 · 3 — 21 и 21

(a + b) + c = a + (b + c) — сочетательное свойство сложения

Слагаемые можно складывать в любом порядке: соседние слагаемые можно заменить их суммой. Пример:

(7 + 4) + 6 = 7 + (4 + 6) — 11 + 6 и 7 + 10, оба раза 17

(a · b) · c = a · (b · c) — сочетательное свойство умножения

Множители можно перемножать в любом порядке. Пример:

(5 · 3) · 4 = 5 · (3 · 4) — 15 · 4 и 5 · 12, оба раза 60

Числа в примерах можно взять любые — главное, чтобы равенство было того же вида, что и буквенное, и обе части давали одно и то же число.

Чтобы показать, что свойства нет, хватает одного примера, где равенство не выполняется.

а) Вычитание. Переместительного свойства нет:

9 − 4 = 5, а 4 − 9 из натуральных чисел не вычесть

Сочетательного свойства нет:

(15 − 8) − 3 = 4

15 − (8 − 3) = 10

4 ≠ 10, значит (15 − 8) − 3 ≠ 15 − (8 − 3)

б) Деление. Переместительного свойства нет:

12 : 4 = 3, а 4 : 12 нацело не делится

Сочетательного свойства нет:

(36 : 6) : 2 = 3

36 : (6 : 2) = 12

3 ≠ 12, значит (36 : 6) : 2 ≠ 36 : (6 : 2)

Вывод: у вычитания и деления нельзя менять местами числа и переставлять скобки — результат изменится.

В одном решебнике для деления взят пример 12 : (4 : 3). Так нельзя: 4 на 3 нацело не делится, значение этого выражения в 3 классе не найти. Бери числа, у которых всё делится нацело, как 36 : (6 : 2).

а) Предположение:

A ∩ B = B ∩ A

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Чего пока не знаю: верны ли эти равенства для любых множеств. Цель: проверить, есть ли у пересечения переместительное и сочетательное свойства. План: раскрасить множества на диаграммах, сравнить рисунки, сделать вывод и проверить его по учебнику на с. 31.

б) На первой паре диаграмм раскрашиваем общую часть двух кругов. И для A ∩ B, и для B ∩ A это одно и то же место посередине.

Вывод: A ∩ B = B ∩ A — у пересечения есть переместительное свойство.

На второй паре три круга. (A ∩ B) ∩ C: сначала находим общую часть A и B (её можно слегка заштриховать простым карандашом), потом из неё оставляем только то, что лежит внутри C. A ∩ (B ∩ C): сначала общая часть B и C, потом из неё — то, что внутри A. Оба раза получается середина, где сходятся все три круга. Её и раскрашиваем.

Вывод: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) — у пересечения есть и сочетательное свойство. Это то, что есть во всех трёх множествах сразу.

Сверьте с диаграммами в тетради: раскрашенными должны остаться только общая часть двух кругов на первой паре и только середина — на второй.

D ∩ E = E ∩ D — переместительное свойство

(D ∩ E) ∩ F = D ∩ (E ∩ F) — сочетательное свойство

В переместительном свойстве буквы меняются местами. В сочетательном буквы стоят в том же порядке, меняется только место скобок.

Ответ: а) 294; б) 500; в) 8900; г) 540.

Как считать 18 · 30: 18 · 3 = 54, а умножить на 10 — приписать нуль: 540. В г) можно и по-другому: 36 · 15 = 30 · 15 + 6 · 15 = 450 + 90 = 540 — это тоже верно.

Ищи пары, которые дают круглое число: 145 и 55, 147 и 53, 28 и 272, 25 и 4.

В неделе 7 дней. Краткая запись:

1. 56 : 7 = 8 (кг) — расходует за один день
2. 8 · 30 = 240 (кг) — израсходует за 30 дней

Ответ: за месяц повар израсходует 240 кг картошки.

Главное — заметить, что «неделя» — это 7 дней. Без этого числа задачу не решить.

108 : 3 — столько кустов он обрезал в день

108 : 3 + 9 — столько будет обрезать в день теперь

1. 108 : 3 = 36
2. 36 + 9 = 45
3. 45 · 5 = 225

Ответ: за 5 дней садовник обрежет 225 кустов.

Как разделить 108 на 3: 108 = 90 + 18, поэтому 108 : 3 = 90 : 3 + 18 : 3 = 30 + 6 = 36. Скобки нужны: без них 9 умножилось бы на 5, а прибавить 9 надо к каждому дню.

а) Если сложить 2 и 2, получится 4, а элементов всего 3. Значит, один элемент посчитан дважды — он лежит в общей части. Остальные два — по одному в каждой «своей» части.

б) По 3 элемента в каждом, а всего их 3 — значит, все три элемента должны быть и в A, и в B. Все три ставим в общую часть.

Ответ: а) 1 элемент в A, 1 в общей части, 1 в B; б) все 3 в общей части кругов. Сверьте с диаграммами в тетради.

В б) получилось A = B: у множеств одни и те же элементы. А части кругов вне общей части остаются пустыми — так можно.