Свойства пересечения множеств

a + b = b + a — переместительное свойство сложения

a · b = b · a — переместительное свойство умножения

(a + b) + c = a + (b + c) — сочетательное свойство сложения

(a · b) · c = a · (b · c) — сочетательное свойство умножения

Смысл: слагаемые и множители можно переставлять и объединять в группы как удобно, результат не изменится.

б) Нет. Достаточно одного примера, где равенство не выполняется:

9 − 3 = 6, а 3 − 9 из натуральных чисел не вычесть

(12 − 5) − 3 = 4, а 12 − (5 − 3) = 10

8 : 2 = 4, а 2 : 8 нацело не делится

(24 : 4) : 2 = 3, а 24 : (4 : 2) = 12

A ∩ B = {3; 4}

B ∩ A = {3; 4}

На диаграмме это одна и та же часть — там, где круги заходят друг на друга. Её можно посмотреть в схеме вверху урока.

Вывод: A ∩ B = B ∩ A. Если поменять множества местами, пересечение не изменится.

Рисунок (A ∩ B) ∩ C: жёлтым закрашена общая часть A и B, синим — круг C. Там, где цвета наложились, получилась зелёная середина. Её и обводим.

Рисунок A ∩ (B ∩ C): жёлтым закрашен A, синим — общая часть B и C. Наложились они в той же самой середине.

Вывод: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Это середина рисунка — то, что есть во всех трёх множествах сразу.

M ∩ K = K ∩ M — переместительное свойство

(M ∩ K) ∩ T = M ∩ (K ∩ T) — сочетательное свойство

Смысл: общая часть множеств не зависит ни от порядка множеств, ни от того, какие два множества мы пересекли сначала.

В решебнике записано «M ∩ K = множество K в множестве M». Это не равенство и не свойство. Справа тоже должна стоять запись с буквами и знаком ∩.

а) M ∩ B — машины «Волга» у жителей Москвы

б) B ∩ C — синие «Волги»

в) M ∩ C — синие машины у жителей Москвы

г) (M ∩ B) ∩ C — синие «Волги» у жителей Москвы

Каждый знак ∩ — это слово «и»: машина и «Волга», и синяя, и из Москвы.

(298 + 386) + 102 = (298 + 102) + 386 = 400 + 386 = 786

489 + (256 + 11) = (489 + 11) + 256 = 500 + 256 = 756

258 + 475 + 42 + 125 = (258 + 42) + (475 + 125) = 300 + 600 = 900

19 · 2 · 5 = 19 · (2 · 5) = 19 · 10 = 190

8 · 2 · 25 = 8 · (2 · 25) = 8 · 50 = 400

14 · 45 = 7 · 2 · 45 = 7 · (2 · 45) = 7 · 90 = 630

Используем переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения: ищем пары, которые дают круглые числа.

В решебниках ошибки: в одном 14 · 45 = 490, в другом 8 · 2 · 25 = 800. Верно: 14 · 45 = 630 (проверка: 14 · 45 = 10 · 45 + 4 · 45 = 450 + 180) и 8 · 2 · 25 = 16 · 25 = 400.

800 (К), 640 (У), 594 (С), 514 (Т), 480 (О), 434 (Д), 354 (И), 320 (Е), 160 (В)

Ответ: КУСТОДИЕВ. Борис Кустодиев — русский художник.

Самое коварное место — a = 6: 480 не меньше 480, а равно ему. Поэтому идём по стрелке «нет».

Блок-схема взята с рисунка учебника. Если у вас в учебнике другой рисунок, пришлите фото — разберу точно.

В решебниках разные ошибки. В одном при a = 6 посчитали 480 · 2 = 960 и вышло «ИКУСТОДЕВ». В другом при a = 8 получили 286 вместо 640 − 126 = 514 и слово «КУСОДИЕВ».

а) Мальчиков c : 3. Спрашивают «на сколько больше» — вычитаем:

15 − 15 : 3 = 15 − 5 = 10 — при c = 15

21 − 21 : 3 = 21 − 7 = 14 — при c = 21

27 − 27 : 3 = 27 − 9 = 18 — при c = 27

б) В одной банке m : 4 л.

8 : 4 · 9 = 2 · 9 = 18 (л) — при m = 8

12 : 4 · 9 = 3 · 9 = 27 (л) — при m = 12

20 : 4 · 9 = 5 · 9 = 45 (л) — при m = 20

В решебниках в а) не то действие. В одном записано c : c : 3 и ответ 3, в другом посчитано только c : 3 = 5, 7, 9. Но c : 3 — это число мальчиков, а спрашивают, на сколько девочек больше: c − c : 3.

2 дм 7 см = 27 см; 4 дм = 40 см

6 − 2 = 4 (см) — вырос в июле

27 + 6 + 4 = 37 (см) — рост в конце июля

40 − 37 = 3 (см) — вырос в августе

Ответ: на 3 см.

В одном решебнике ответ 31 см. Это неверно: за всё лето щенок вырос с 27 до 40 см, то есть всего на 13 см. В августе не мог вырасти на 31.

Саша и Таня вместе весят как Миша. Значит, 54 кг — это два веса Миши.

54 : 2 = 27 (кг)

Ответ: Миша весит 27 кг.