Ещё в уроке: пересечение треугольников, улитка (дм, см и мм), подбор корней, блиц с буквами, дороги от Бабы Яги
Пересечение множеств A и B — это множество элементов, которые есть и в A, и в B. Обозначают знаком ∩. На диаграмме это общая часть кругов: её закрашивают дважды, жёлтым и синим, и она становится зелёной.
Нажимай кнопки: кто был у Коли, кто у Тани и кто у обоих.
Как найти пересечение без диаграммы: бери по очереди элементы первого множества и оставляй только те, что есть и во втором. Если общих нет, пересечение пустое: A ∩ B = ∅.
Построй в тетради диаграммы множеств A и B, как на рисунке. Раскрась область A жёлтым, а область B синим. Какую часть пришлось закрасить дважды? Обведи её границу красным.
Дважды закрашена часть, где круги заходят друг на друга. Жёлтый и синий смешаются, и она станет зелёной. Её и обводим красным: это пересечение, или общая часть, двух областей.
Как проверить: в схеме вверху урока нажми «К ∩ Т» — общая часть закрасится так же.
К — множество детей на дне рождения у Коли, Т — у Тани. Из каких элементов они состоят? Найди пересечение К и Т. Как найти его, не рисуя диаграммы?
К = {Шура; Надя; Петя}
Т = {Петя; Миша; Лена}
К ∩ Т = {Петя}
Петя был на обоих днях рождения, поэтому он в общей части.
Вывод: чтобы найти пересечение без диаграммы, выписываем элементы, которые есть и в одном, и в другом множестве.
Пересечение — это тоже множество, поэтому пишем его в фигурных скобках: {Петя}, а не просто «Петя».
Имена взяты с рисунка учебника. Если у вас в учебнике другой рисунок, пришлите фото — разберу точно.
A — множество учеников, изучающих английский язык, F — множество учеников, изучающих французский. Что представляет собой множество A ∩ F?
A ∩ F — это ученики, которые изучают и английский, и французский язык.
В одном решебнике A ∩ F = ∅, «если каждый учит только один язык». В условии этого нет. Бывают ученики, которые учат два языка, — они и есть A ∩ F.
Найди общее свойство элементов каждого из множеств A, B и A ∩ B. Где на диаграмме расположены их элементы?
а) В A только жёлтые фигуры: круг, овал, прямоугольник и квадраты. В B только квадраты: зелёный, синие и жёлтые.
A — жёлтые фигуры; B — квадраты; A ∩ B — жёлтые квадраты
б) В A только синие фигуры: квадрат, прямоугольник и два круга. В B только круги: жёлтые, зелёный и синие.
A — синие фигуры; B — круги; A ∩ B — синие круги
Элементы A ∩ B лежат в общей части кругов. У них есть сразу оба свойства: и цвет из A, и форма из B.
Фигуры описаны по рисунку учебника. Если у вас другой рисунок, пришлите фото — разберу точно.
В решебнике в б) A — «множество синих прямоугольников». Но в A лежат и синие круги (в общей части), а круг — не прямоугольник. Общее свойство всех элементов A — синий цвет.
Назови элементы множеств M и K. Найди M ∩ K. Построй диаграмму, отметь элементы и обведи M ∩ K. а) M = {а; б; синий квадрат; звёздочка}, K = {синий квадрат; а; в}; б) M = {15; 25; 30; 40}, K = {23; 24; 25}.
а) M ∩ K = {а; ■} — буква а и синий квадрат есть в обоих множествах
б) M ∩ K = {25}
В б) на диаграмме в общей части стоит только 25. В M без K — 15, 30 и 40, в K без M — 23 и 24.
В схеме ■ — это синий квадрат, ★ — звёздочка с рисунка. Нажми «M ∪ K» и «M ∩ K», чтобы сравнить.
Элементы взяты с рисунка учебника. Если у вас в учебнике другой рисунок, пришлите фото — разберу точно.
Нарисуй в тетради диаграмму множеств A и B. Закрась на ней множество A ∩ B. (Три рисунка: а) два овала заходят друг на друга; б) два овала крест-накрест; в) овал B внутри овала A.)
а) и б) Закрашиваем только ту часть, где овалы заходят друг на друга. В б) это середина креста.
в) Овал B целиком внутри A. Всё, что есть в B, есть и в A. Поэтому закрашиваем весь овал B: A ∩ B = B.
Если одно множество внутри другого, пересечение — это меньшее множество.
Рисунки описаны по учебнику. Если у вас в учебнике другой рисунок, пришлите фото — разберу точно.
Докажи, что множества A и B на рисунке не имеют общих элементов. Объясни смысл равенства A ∩ B = ∅. Приведи свои примеры непересекающихся множеств.
A = {р; д; м}; B = {8; 9}
В A только буквы, в B только числа. Ни один элемент не встречается в обоих множествах, круги на рисунке даже не касаются.
A ∩ B = ∅ значит: пересечение A и B — пустое множество, общих элементов нет. Такие множества называют непересекающимися.
Примеры: чётные и нечётные числа; гласные и согласные буквы; ученики 3 «А» и ученики 3 «Б»; кошки и собаки.
Элементы взяты с рисунка учебника. Если у вас в учебнике другой рисунок, пришлите фото — разберу точно.
В решебнике написано: «множества A и B равны пустому множеству». Это неверно: A и B не пустые, в A три буквы, в B два числа. Пустое — только их пересечение.
Начерти два треугольника так, чтобы их пересечением были: а) шестиугольник; б) пятиугольник; в) четырёхугольник; г) треугольник; д) отрезок; е) точка; ж) пустое множество.
а) Один треугольник вершиной вверх, другой вершиной вниз — получится звезда. Общая часть — шестиугольник.
б) Сдвинь нижний треугольник вверх, чтобы его нижняя вершина зашла внутрь первого. Общая часть — пятиугольник.
в) Положи треугольники так, чтобы у каждого один угол заходил внутрь другого. Получится четырёхугольник.
г) Маленький треугольник целиком внутри большого: общая часть — сам маленький треугольник.
д) Треугольники касаются сторонами: общая часть — отрезок.
е) Треугольники касаются только вершинами: общая часть — точка.
ж) Треугольники далеко друг от друга: общих точек нет, пересечение — пустое множество.
Удобно вырезать два треугольника из бумаги и двигать их по столу, обводя карандашом.
Улитка проползла утром 3 см 6 мм, днём — 1 дм 4 мм, а вечером — на 4 см меньше, чем утром и днём вместе. Какое расстояние проползла улитка за всё это время?
Переведём всё в миллиметры. Главное — не потерять дециметр: 1 дм = 10 см = 100 мм.
3 см 6 мм = 36 мм
1 дм 4 мм = 104 мм
4 см = 40 мм
36 + 104 = 140 (мм) — утром и днём
140 − 40 = 100 (мм) — вечером
140 + 100 = 240 (мм) = 24 см
Ответ: 24 см.
В одном решебнике ответ 60 мм. Там 1 дм 4 мм посчитали как 14 мм. Но в 1 дм 100 мм, поэтому 1 дм 4 мм = 104 мм, и ответ 240 мм, то есть 24 см.
Подбери корни уравнений: а) 15 · a = 15 : a; б) x · 10 = x : 10; в) y + y = y · y; г) b + b + b = b · b.
а) a = 1 — 15 · 1 = 15 и 15 : 1 = 15
б) x = 0 — 0 · 10 = 0 и 0 : 10 = 0
в) y = 0 и y = 2 — 0 + 0 = 0 · 0; 2 + 2 = 2 · 2 = 4
г) b = 0 и b = 3 — 0 + 0 + 0 = 0 · 0; 3 + 3 + 3 = 3 · 3 = 9
Всегда проверяй 0 и 1: с ними часто получаются верные равенства. В а) 0 не подходит, потому что на 0 делить нельзя.
В решебниках в б) x = 1. Но 1 · 10 = 10, а 1 : 10 нацело не делится — равенство неверно. В в) и г) решебники дают только по одному корню, а их по два. В одном решебнике в г) b = 1, но 1 + 1 + 1 = 3, а 1 · 1 = 1.
Блицтурнир. а) Оля испекла a пирожков, сестра — b. Пирожки разложили поровну на 3 тарелки. Сколько пирожков на каждой? б) В 7 одинаковых банках d л сока. Сколько сока в 20 таких банках? в) С первой грядки собрали c огурцов, со второй — на b меньше. Во сколько раз больше собрали с первой? г) В коробке было n конфет. Четверо ребят взяли по a конфет. Сколько осталось? д) В вазе c яблок, а груш в 3 раза больше. Сколько всего фруктов?
а) (a + b) : 3
б) d : 7 · 20 — в одной банке d : 7 л
в) c : (c − b) — со второй грядки c − b огурцов
г) n − a · 4 — четверо взяли a · 4 конфет
д) c + c · 3 — груш c · 3
В а) и в) скобки обязательны: сначала надо сложить или вычесть, а потом делить.
Найди значения выражений: а) 76 · 5; б) 8 · 49; в) 130 · 6; г) 3 · 290; д) 48 : 3; е) 52 : 4; ж) 950 : 5; з) 660 : 6; и) 80 : 16; к) 57 : 19; л) 780 : 13; м) 560 : 140; н) 75 : 25 + 3 · 17; о) 200 − 80 : 5; п) (160 − 70) : 18; р) (29 + 25) : (72 : 8).
а) 76 · 5 = 70 · 5 + 6 · 5 = 350 + 30 = 380
б) 8 · 49 = 8 · 40 + 8 · 9 = 320 + 72 = 392
в) 130 · 6 = 780 — 13 · 6 = 78, приписываем 0
г) 3 · 290 = 870 — 3 · 29 = 87, приписываем 0
д) 48 : 3 = (30 + 18) : 3 = 10 + 6 = 16
е) 52 : 4 = (40 + 12) : 4 = 10 + 3 = 13
ж) 950 : 5 = (500 + 450) : 5 = 100 + 90 = 190
з) 660 : 6 = (600 + 60) : 6 = 100 + 10 = 110
и) 80 : 16 = 5 — подбор: 16 · 5 = 80
к) 57 : 19 = 3 — подбор: 19 · 3 = 57
л) 780 : 13 = 60 — 78 дес. : 13 = 6 дес.
м) 560 : 140 = 4 — 56 дес. : 14 дес. = 56 : 14
н) 75 : 25 + 3 · 17 = 3 + 51 = 54
о) 200 − 80 : 5 = 200 − 16 = 184
п) (160 − 70) : 18 = 90 : 18 = 5
р) (29 + 25) : (72 : 8) = 54 : 9 = 6
В решебниках две ошибки. В одном (160 − 70) : 18 = 54, но 90 : 18 = 5 (18 · 5 = 90). В другом 660 : 6 = 100, но верно 110 (110 · 6 = 660).
Через три с половиной часа наступит полдень. А сейчас который час?
Полдень — это 12 часов дня. Идём назад: 3 часа назад было 9 часов, ещё полчаса (30 минут) назад — 8 часов 30 минут.
12 ч − 3 ч 30 мин = 8 ч 30 мин
Ответ: сейчас 8 ч 30 мин утра.
От Бабы Яги до Кощея ведут 3 дороги, а от Кощея до Кикиморы — 4 дороги. Сколькими способами можно дойти от Бабы Яги до Кикиморы?
Назовём дороги к Кощею 1, 2, 3, а дороги к Кикиморе — а, б, в, г. Путь состоит из двух частей, и к каждой первой дороге подходит любая из четырёх вторых:
1а, 1б, 1в, 1г; 2а, 2б, 2в, 2г; 3а, 3б, 3в, 3г
4 + 4 + 4 = 4 · 3 = 12 (сп.)
Ответ: 12 способами.
В одном решебнике 3 + 4 = 7 способов. Это неверно: мы идём и по первой дороге, и по второй. Каждую из 3 первых дорог можно продолжить 4 способами, поэтому умножаем.
Решение запиши в тетради, а сюда впиши только число.
A = {3; 5; 7; 9}, B = {1; 3; 9; 11}. Сколько элементов в A ∩ B?
Сколько миллиметров в 1 дм 2 мм?
Из дома в школу ведут 2 дороги, а из школы в бассейн — 5 дорог. Сколькими способами можно пройти из дома в бассейн через школу?
(200 − 56) : 12