Ещё в уроке: истинные и ложные равенства, значения переменной, «больше на» и «больше в» в виде равенств, выражения и высказывания, деление с проверкой, гости-инопланетяне
Главное
Знак «=» — равенство, знаки «>» и «<» — неравенство
Равенство — два выражения, соединённые знаком «=». Неравенство — два выражения, соединённые знаком «>» или «<». Без переменных это высказывания: они бывают верными и неверными.
Равенства
Запись
Верно?
27 = 3 · 9
да
«35 : 5 = 6»
нет
x + 6 = 15
при x = 9
Неравенства
Запись
Верно?
18 760 > 18 670
да
«91 < 91»
нет
Если в равенстве или неравенстве есть буква, ищем, при каких её значениях оно верно: k < 4 — при k = 0, 1, 2, 3.
«90 − 16 = 70 − 16» — ложно — из большего числа вычли столько же, останется больше
«256 : 64 = 320 : 64» — ложно — 4 и 5
Неравенства:
«45 · 30 < 45 · 20» — ложно — 30 раз по 45 больше, чем 20 раз
84 − 35 > 84 − 45 — истинно — вычли меньше, осталось больше
«432 : 48 < 432 : 54» — ложно — 9 и 8
Многое видно без вычислений: сравни части, которые отличаются.
№ 3
Укажи множество значений переменной, при которых верно равенство или неравенство: a · 1 = a; x + 6 = 15; k < 4; b · 0 = 1; y · (y − 3) = 0; n > 0.
a · 1 = a — при любом a
x + 6 = 15 — при x = 9
k < 4 — k: {0; 1; 2; 3}
b · 0 = 1 — ни при каком b — любое число, умноженное на 0, даёт 0
y · (y − 3) = 0 — при y = 3
n > 0 — любое число, кроме 0
Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0. Множитель y равен 0 при y = 0, но тогда пришлось бы вычислять 0 − 3, а из 0 вычесть 3 нельзя. Остаётся y − 3 = 0, то есть y = 3.
№ 4
Запиши в виде равенства: а) 5 больше 3 на 2; б) 7 меньше 8 на 1; в) 12 больше 2 в 6 раз; г) 4 меньше 20 в 5 раз; д) a больше b в 4 раза; е) x меньше y на 3; ж) m больше n на 10; з) k меньше t в 7 раз.
а) 5 − 3 = 2
б) 8 − 7 = 1
в) 12 : 2 = 6
г) 20 : 4 = 5
д) a : b = 4
е) y − x = 3
ж) m − n = 10
з) t : k = 7
«На сколько больше/меньше» — вычитаем из большего меньшее. «Во сколько раз» — делим большее на меньшее. Можно записать и иначе: 5 = 3 + 2, 12 = 2 · 6.
Разбор
Страница 76
№ 5
а) Таня сказала, что равенство 2 · x + 3 = 11 верно при всех значениях x. Как опровергнуть её слова? б) Валера считает, что неравенство k + 24 < k + 25 выполняется не при всех k. Как доказать, что он не прав?
а) Достаточно одного примера, когда равенство неверно.
при x = 1 → 2 · 1 + 3 = 5, а не 11
Значит, равенство верно не при всех x, Таня не права. Оно верно только при x = 4: 2 · 4 + 3 = 11.
б) В обеих суммах одно и то же слагаемое k. А второе слагаемое слева — 24, справа — 25. Значит, левая сумма всегда на 1 меньше правой, какое бы k ни взять.
Неравенство верно при любом k — Валера не прав.
№ 6ошибка в решебнике
Найди среди записей 1) выражения; 2) высказывания; 3) предложения с переменными; 4) равенства; 5) неравенства. А. 8 + 12 = 20; Б. 8 + 12 + 20; В. 8 + 12 > 20; Г. 20 = 8 + 12; Д. a > b; Е. a − b; Ж. a + b = c; З. a + b · c.
1) выражения: Б, Е, З
2) высказывания: А, В, Г
3) предложения с переменными: Д, Ж
4) равенства: А, Г, Ж
5) неравенства: В, Д
Выражение ничего не утверждает: в нём нет знаков «=», «>», «<». Высказывание — без букв, про него можно сказать «верно» (А, Г) или «неверно» (В: 20 не больше 20). Предложение с переменной — со знаком сравнения и с буквами: верно оно или нет, зависит от букв.
В решебнике Ж записано в высказывания, а Е и З — в предложения с переменными. Но a + b = c нельзя назвать верным или неверным, пока неизвестны буквы, — это предложение с переменными, а не высказывание. А a − b и a + b · c — выражения: они ничего не утверждают.
№ 7
Митя поймал c окуней, а Коля — d окуней. Сколько окуней они поймали вместе? Составь выражение и найди значение при а) c = 27, d = 3; б) c = 16, d = 8; в) c = 28, d = 14.
c + d (ок.)
а) 27 + 3 = 30 (ок.)
б) 16 + 8 = 24 (ок.)
в) 28 + 14 = 42 (ок.)
№ 8
Чему равен периметр треугольника со сторонами a см, b см и c см? Найди его при 1) a = 25, b = 37, c = 49; 2) a = 451, b = 394, c = 673.
P = a + b + c
1) 25 + 37 + 49 = 111 (см)
2) 451 + 394 + 673 = 1518 (см)
№ 9
а) За 6 м ткани заплатили 1680 р. Сколько стоят 9 м такой ткани? б) В 5 одинаковых ящиков разложили 60 кг винограда. Сколько таких ящиков нужно для 84 кг?
а) 1680 : 6 = 280 (р.) — цена 1 м
280 · 9 = 2520 (р.)
б) 60 : 5 = 12 (кг) — в одном ящике
84 : 12 = 7 (ящ.)
Ответ: а) 2520 р.; б) 7 ящиков.
В обеих задачах сначала узнаём, сколько приходится на одно (1 м, 1 ящик).
Следи за нулями в частном: 22 : 4 = 5 (ост. 2), 24 : 4 = 6, 3 меньше 4 — пишем 0, 32 : 4 = 8, 0 : 4 = 0.
№ 11
К Саше на день рождения прилетели 5 инопланетян. Их было на 2 меньше, чем одноклассников, и на 1 больше, чем родственников. Сколько всего гостей, если других не было?
5 + 2 = 7 — одноклассников: инопланетян на 2 меньше, значит, одноклассников на 2 больше
5 − 1 = 4 — родственников
5 + 7 + 4 = 16 (гостей)
Ответ: 16 гостей.
№ 12
Петя, Серёжа, Дима и Алёша получили отметки «5», «5», «4» и «3». У Пети отметка выше, чем у Димы, а у Серёжи такая же, как у Алёши. Кто получил тройку?
Одинаковые отметки — только две пятёрки. Значит, Серёжа и Алёша получили «5». Пете и Диме остались «4» и «3», и у Пети выше: Петя — «4», Дима — «3».
Ответ: тройку получил Дима.
Проверь себя
Реши сам
При каком x верно равенство x + 18 = 45?
Сколько чисел от 1 до 10 делают верным неравенство 3 · k > 20?
За 4 м ткани заплатили 1240 р. Сколько стоят 7 м такой ткани?
р.
Для родителей
На что смотреть
Путает выражение и равенство: 8 + 12 + 20 — выражение, а 8 + 12 = 20 — равенство.
Считает «91 < 91» верным, потому что числа «почти те же». Знак «<» требует строго меньше.
«a больше b в 4 раза» записывает как a − b = 4. Слова «в … раз» — это деление.
В задаче про инопланетян вычитает 2 вместо того, чтобы прибавить: если инопланетян меньше, одноклассников больше.