Ещё в уроке: множество двузначных чисел, деление с остатком, блиц-турнир, порядок действий, задача о трёх купцах
Множество можно нарисовать. Обводим его элементы замкнутой линией — это диаграмма Эйлера–Венна. Внутри стоят элементы множества, снаружи — то, что ему не принадлежит. Вместо слов «принадлежит» и «не принадлежит» пишут знаки ∈ и ∉.
2 ∈ B — читаем: «2 принадлежит B»
a ∉ B — читаем: «a не принадлежит B»
∈ похож на букву «Е»: элемент «есть» в множестве. Зачёркнутый ∉ — «нет».
Назови каждый элемент множества B = {2; m; ■}. Принадлежит ли ему число 2, буква а? Заполни пропуски: «Число 2 … множеству B», «Буква а … множеству B».
Элементы B: число 2, буква m, зелёный квадрат.
Число 2 принадлежит множеству B.
Буква а не принадлежит множеству B.
В решебнике написано «Буква а принадлежит множеству B». Это неверно: в фигурных скобках буквы а нет, там буква m.
На рисунке диаграмма множества A. Какие элементы ему принадлежат, а какие нет? Сделай записи со знаками ∈ и ∉: b … A, e … A, ● … A, 8 … A, 4 … A, ★ … A.
По рисунку учебника внутри линии стоят 8, b и звёздочка. Снаружи — e, 4 и жёлтый кружок.
b ∈ A; e ∉ A; ● ∉ A
8 ∈ A; 4 ∉ A; ★ ∈ A
Нарисуй диаграмму множества C и отметь на ней элементы ▲, ■, d, 10, ★, 5, если известно: ▲ ∈ C, ■ ∉ C, d ∉ C, 10 ∈ C, ★ ∈ C, 5 ∉ C.
Где стоит знак ∈ — рисуем внутри линии, где ∉ — снаружи.
Внутри: ▲, 10, ★
Снаружи: ■, d, 5
Форма линии и место каждого элемента внутри могут быть любыми. Важно одно: кто внутри, а кто снаружи.
Имеется множество M = {a; b; жёлтый △; c; синий ■}. Используя знаки ∈ и ∉, составь и прочитай верные записи: a … M, ★ … M, синий ● … M, зелёный ▲ … M, c … M, 3 … M.
a ∈ M — «a принадлежит M»
★ ∉ M — звёздочки в M нет
● ∉ M — в M синий квадрат, а не круг
▲ ∉ M — в M жёлтый треугольник, а этот зелёный
c ∈ M
3 ∉ M
Смотрите и на форму, и на цвет: зелёный треугольник — другой элемент, не тот, что в M. Если цвета на вашем рисунке другие — пришлите фото, разберу точно.
D — множество двузначных чисел. а) Принадлежат ли D числа 26, 307, 8, 940, 15, 60? Отметь их на диаграмме, сделай записи со знаками ∈ и ∉. б) Сколько элементов содержит D? в) Укажи самое маленькое и самое большое число в D.
а) 26 ∈ D; 15 ∈ D; 60 ∈ D
307 ∉ D; 8 ∉ D; 940 ∉ D
б) D — это все двузначные числа: 10, 11, 12, … 99. От 1 до 99 всего 99 чисел, убираем 9 однозначных — от 1 до 9.
99 − 9 = 90 (элементов)
в) самое маленькое — 10, самое большое — 99
Ответ: б) 90 элементов; в) 10 и 99.
В решебнике: «D содержит три элемента», «самое маленькое 15, самое большое 60». Это неверно. Решебник посчитал только числа из списка. А D — множество всех двузначных чисел, их 90, от 10 до 99.
Запиши множество трёхзначных чисел, у которых все три цифры одинаковые. Сколько таких чисел?
{111; 222; 333; 444; 555; 666; 777; 888; 999}
Ответ: 9 чисел.
000 — не трёхзначное число: трёхзначное не может начинаться с нуля.
Найди общее свойство элементов множества A и общее свойство элементов множества B. Сколько девочек принадлежит A, но не принадлежит B? Сколько принадлежит B, но не A? Сколько общих элементов у A и B?
По рисунку учебника: у всех девочек в A в руках цветок, у всех в B — мяч. Одна девочка стоит в общей части: у неё и цветок, и мяч.
A — девочки с цветком; B — девочки с мячом
Только в A: 4 девочки
Только в B: 3 девочки
Общих элементов: 1
Знаки ∩ и ∪ на кнопках схемы — общая часть и всё вместе. Их вы узнаете чуть позже.
В решебнике «три девочки принадлежат A, но не B». На рисунке в A без общей части стоят четыре девочки с цветами. Пересчитайте по учебнику: если у вас другой рисунок — пришлите фото, разберу точно.
Объясни по чертежу, как выполнено деление с остатком. Назови делимое, делитель, частное и остаток. Запиши равенства: 35 = □ · □ + □; 35 : 8 = □ (ост. □). Вспомни алгоритм деления с остатком.
От 0 отложили по 8 четыре раза и дошли до 32. До 35 осталось 3, а это меньше 8: ещё раз по 8 не отложить.
Делимое 35, делитель 8, частное 4, остаток 3.
35 = 8 · 4 + 3
35 : 8 = 4 (ост. 3)
Выполни деление с остатком: а) на числовом луче; б) по алгоритму. Какой способ удобнее? 16 : 3; 14 : 5; 20 : 6.
а) На луче откладываем от 0 по 3 (по 5, по 6), пока не дойдём почти до делимого.
16 : 3 = 5 (ост. 1) — 3 · 5 = 15, 16 − 15 = 1
14 : 5 = 2 (ост. 4) — 5 · 2 = 10, 14 − 10 = 4
20 : 6 = 3 (ост. 2) — 6 · 3 = 18, 20 − 18 = 2
б) По алгоритму: ищем ближайшее меньшее число, которое делится нацело (15, 10, 18), делим, вычитаем.
Луч нагляднее, а алгоритм быстрее: для больших чисел луч получится очень длинным.
Выполни деление с остатком: 19 : 3; 21 : 8; 34 : 7; 75 : 9; 56 : 6.
19 : 3 = 6 (ост. 1) — 3 · 6 = 18
21 : 8 = 2 (ост. 5) — 8 · 2 = 16
34 : 7 = 4 (ост. 6) — 7 · 4 = 28
75 : 9 = 8 (ост. 3) — 9 · 8 = 72
56 : 6 = 9 (ост. 2) — 6 · 9 = 54
Остаток всегда меньше делителя!
В решебнике в тексте «19 : 3 = 5 + 1». Неверно: при частном 5 и остатке 1 получилось бы 3 · 5 + 1, то есть 16, а не 19. Правильно 6 (ост. 1). И запись с «+» не подходит, пишут «(ост. 1)». В другом решебнике «19 : 3 = 6 (ост. 3)» — тоже ошибка: остаток 3 равен делителю, так не бывает.
Бабушка Гамми приготовила 45 л яблочного сока и 85 л вишнёвого. На завтрак медведи израсходовали 18 л, а на обед — в 2 раза больше, чем на завтрак. Сколько сока осталось?
45 + 85 = 130 (л) — было всего
18 · 2 = 36 (л) — на обед
18 + 36 = 54 (л) — выпили за завтрак и обед
130 − 54 = 76 (л)
Ответ: 76 л.
Вычисли устно и объясни приёмы: 5 · 100, 10 · 70, 800 : 10, 400 : 100, 200 · 3, 40 · 18, 560 : 7, 400 : 5, 270 : 90, 320 : 160.
| Пример | Как считаем | Ответ |
|---|---|---|
| 5 · 100 | приписываем к 5 два нуля | 500 |
| 10 · 70 | приписываем к 70 один нуль | 700 |
| 800 : 10 | отбрасываем один нуль | 80 |
| 400 : 100 | отбрасываем два нуля | 4 |
| 200 · 3 | 2 сот. · 3 = 6 сот. | 600 |
| 40 · 18 | 4 · 18 = 72, приписываем 0 | 720 |
| 560 : 7 | 56 дес. : 7 = 8 дес. | 80 |
| 400 : 5 | 40 дес. : 5 = 8 дес. | 80 |
| 270 : 90 | 27 дес. : 9 дес. = 27 : 9 | 3 |
| 320 : 160 | 32 дес. : 16 дес. = 32 : 16 | 2 |
400 : 5 — 4 сотни на 5 не делятся, поэтому переходим к десяткам: 40 дес. : 5 = 8 дес. = 80.
Найди значения выражений: а) 360 : 6 · 5 − 450 : (25 · 2) − 70 · 6 : 3; б) 4 · (30 · 8) − 9 · 8 : 12 − (100 − 8 · 8).
1) 25 · 2 = 50
2) 360 : 6 = 60
3) 60 · 5 = 300
4) 450 : 50 = 9
5) 70 · 6 = 420
6) 420 : 3 = 140
7) 300 − 9 = 291
8) 291 − 140 = 151
1) 30 · 8 = 240
2) 8 · 8 = 64
3) 100 − 64 = 36
4) 4 · 240 = 960
5) 9 · 8 = 72
6) 72 : 12 = 6
7) 960 − 6 = 954
8) 954 − 36 = 918
Ответ: а) 151; б) 918.
В решебнике в б) ответ 54. Там потерян нуль: 30 · 8 — это 240, а не 24. Дальше всё посчитано от неверного числа. Правильно 918.
Блиц-турнир. Запиши выражение. а) У Вадима a открыток, это в 2 раза меньше, чем у Алёши. Сколько открыток у Алёши? б) У Лены b марок, это на c меньше, чем у её сестры. Сколько марок у них вместе? в) Артём нашёл n ягод, сестре подарил k ягод, а бабушке — в 3 раза больше. Сколько ягод осталось? г) Из x белых и y красных гвоздик сделали букеты по 5 штук. Сколько букетов?
а) a · 2 — у Вадима в 2 раза меньше, значит, у Алёши в 2 раза больше
б) b + (b + c) — у сестры на c больше: b + c
в) n − k − k · 3 — бабушке k · 3
г) (x + y) : 5 — сначала все гвоздики вместе
Ловушка в а) и б): «в 2 раза меньше, чем у Алёши» — значит, у Алёши больше, и мы умножаем. Слово «меньше» не всегда означает вычитание или деление.
Какие знаки действий можно вставить вместо звёздочек (здесь они в окошках)? Есть ли другие решения? 31 □ 1 = 31; 25 □ 0 = 25; 0 □ 26 = 0; 1 □ 58 = 58; 0 □ 49 = 49; 74 □ 0 = 0.
31 · 1 = 31 и 31 : 1 = 31 — два решения
25 + 0 = 25 и 25 − 0 = 25 — два решения
0 · 26 = 0 и 0 : 26 = 0 — два решения
1 · 58 = 58 — одно решение
0 + 49 = 49 — одно решение
74 · 0 = 0 — одно решение: на нуль делить нельзя
Да, другие решения есть: в первых трёх равенствах подходят по два знака.
В решебнике указано по одному знаку, а на вопрос «Есть ли другие решения?» ответа нет. В другом решебнике написано «других вариантов нет» — это неверно: 31 : 1 = 31, 25 − 0 = 25, 0 : 26 = 0.
Три купца делят 21 бочонок кваса: 7 полных, 7 наполовину полных и 7 пустых. Как поделить, не переливая квас, чтобы у каждого было поровну кваса и поровну бочонков?
Считаем квас в половинках бочонка. Полный бочонок — 2 половинки, полупустой — 1.
7 · 2 + 7 = 21 (половинка) — весь квас
21 : 3 = 7 — каждому 7 половинок кваса и 7 бочонков
| Купец | Полных | Полупустых | Пустых | Кваса |
|---|---|---|---|---|
| 1-й | 3 | 1 | 3 | 6 + 1 = 7 |
| 2-й | 2 | 3 | 2 | 4 + 3 = 7 |
| 3-й | 2 | 3 | 2 | 4 + 3 = 7 |
Проверяем: полных 3 + 2 + 2 = 7, полупустых 1 + 3 + 3 = 7, пустых 3 + 2 + 2 = 7. У каждого по 7 бочонков.
Второе решение: двум купцам по 3 полных, 1 полупустому и 3 пустых, третьему — 1 полный, 5 полупустых и 1 пустой. У третьего кваса 2 + 5 = 7 половинок.
Ответ: например, одному 3 полных, 1 полупустой и 3 пустых, двум другим — по 2 полных, 3 полупустых и 2 пустых.
Решение запиши в тетради, а сюда впиши только число.
Сколько элементов в множестве двузначных чисел, которые оканчиваются нулём?
Какой остаток получится при делении 47 на 6?
Петя задумал число. Разделил его на 7 и получил 5 и остаток 3. Какое число задумал Петя?
Найди значение выражения: 4 · (20 · 5) − 64 : 8.