Удобные способы счёта, вычитание суммы и из суммы, нуль, порядок действий, задачи-шутки
Всё, что мы знаем о сложении и вычитании маленьких чисел, верно и для многозначных. Это помогает считать в уме очень большие числа.
| Свойство | Как записать | Пример |
|---|---|---|
| Переставлять | a + b = b + a | 2996 + 4 + 71 300 = 3000 + 71 300 |
| Группировать | (a + b) + c = a + (b + c) | (36 + 64) + (25 + 75) = 200 |
| Вычесть сумму | a − (b + c) = a − b − c | 32 584 − (32 564 + 19) = 20 − 19 |
| Вычесть из суммы | (a + b) − c = (a − c) + b | (18 607 + 458) − 17 607 = 1000 + 458 |
| Нуль | a + 0 = a, a − 0 = a, a − a = 0 | 7 009 072 − 7 009 072 = 0 |
Ищи пары, которые дают круглое число, — и считай их первыми.
Устно вычисли удобным способом: 23 + 24 + 25 + 26 + 27; (36 + 25) + 75 + (64 + 100). Какие свойства помогли? Можно ли применять их к многозначным числам?
(23 + 27) + (24 + 26) + 25 = 50 + 50 + 25 = 125
(36 + 64) + (25 + 75) + 100 = 100 + 100 + 100 = 300
Помогли переместительное и сочетательное свойства сложения. Они верны для любых чисел, значит, и для многозначных.
Устно вычисли удобным способом и объясни: а) 71 300 + 2996 + 4 + 700; б) 9998 + 405 + 2 + 95 + 2500; в) (18 607 + 458) − 17 607; г) 32 584 − (32 564 + 19).
а) (71 300 + 700) + (2996 + 4) = 72 000 + 3000 = 75 000
б) (9998 + 2) + (405 + 95) + 2500 = 10 000 + 500 + 2500 = 13 000
в) (18 607 − 17 607) + 458 = 1000 + 458 = 1458
г) (32 584 − 32 564) − 19 = 20 − 19 = 1
В решебнике в г) ответ 39. Неверно: сумму вычитают целиком, и 19 тоже вычитается — получается 1.
Вычисли, проверь на калькуляторе: а) 55 796 208 + 603 917; б) 41 002 600 − 25 624.
а) 56 400 125
б) 40 976 976
При каких значениях букв верны равенства: a + 16 504 = 16 504; 34 290 + b = 34 290; 7 009 072 − c = 0? Назови свойства сложения и вычитания с нулём.
a = 0; b = 0; c = 7 009 072
Прибавить нуль — число не изменится. Вычесть нуль — не изменится. Вычесть число из самого себя — получится нуль.
Составь выражение и найди значение: а) из 67 546 вычесть сумму чисел 5624 и 14 976; б) разность чисел 80 000 и 46 980 увеличить на 7589.
а) 67 546 − (5624 + 14 976) = 67 546 − 20 600 = 46 946
б) (80 000 − 46 980) + 7589 = 33 020 + 7589 = 40 609
«Сумма чисел» и «разность чисел» в условии — это скобки в выражении.
Составь программу действий. Что замечаешь? 1) a : (b − c) · d + k · (m : n); 2) a : b − c · (d + k · m) : n; 3) a : (b − c · d) + k · m : n; 4) (a : b − c) · d + k · (m : n).
Порядок: сначала скобки, внутри них — по тем же правилам; потом умножение и деление слева направо; в конце сложение и вычитание.
| Порядок действий | |
|---|---|
| 1) | b − c; m : n; a : ①; ③ · d; k · ②; ④ + ⑤ |
| 2) | k · m; d + ①; a : b; c · ②; ④ : n; ③ − ⑤ |
| 3) | c · d; b − ①; a : ②; k · m; ④ : n; ③ + ⑤ |
| 4) | a : b; ① − c; m : n; ② · d; k · ③; ④ + ⑤ |
Замечаем: буквы и знаки почти одинаковые, действий везде шесть, но из-за скобок порядок разный.
Цифры в кружках — номер действия, результат которого используем.
Составь программу действий и вычисли: а) 100 000 − (5020 + 72 396) − 2973; б) (206 400 − 40 287) − (50 266 + 103 924).
а) 5020 + 72 396 = 77 416; 100 000 − 77 416 = 22 584; 22 584 − 2973 = 19 611
б) 206 400 − 40 287 = 166 113; 50 266 + 103 924 = 154 190; 166 113 − 154 190 = 11 923
Ответ: а) 19 611; б) 11 923.
В трёх школах 3600 учеников. В первой — 1265, во второй на 348 больше, чем в первой. Сколько учеников в третьей школе? На сколько в третьей меньше, чем в первой?
1265 + 348 = 1613 — во второй
3600 − (1265 + 1613) = 722 — в третьей
1265 − 722 = 543
Ответ: 722 ученика; на 543 меньше.
а) Составь множество двузначных чисел, кратных 18. б) Выполни деление с остатком: 39 : 18; 55 : 18; 62 : 18; 76 : 18. в) Выучи двузначные числа, кратные 18.
а) {18; 36; 54; 72; 90}
39 : 18 = 2 (ост. 3) — 18 · 2 = 36
55 : 18 = 3 (ост. 1) — 18 · 3 = 54
62 : 18 = 3 (ост. 8) — 18 · 3 = 54
76 : 18 = 4 (ост. 4) — 18 · 4 = 72
В решебнике в а) добавлены числа от 108 до 180. Они трёхзначные и в ответ не входят.
Вычисли. Расшифруй и отгадай загадку.
| Буква | Пример | Ответ |
|---|---|---|
| Т | 38 : 2 | 19 |
| В | 34 · 2 | 68 |
| З | (96 − 26) : 14 | 5 |
| У | 75 : 3 | 25 |
| Е | 24 · 3 | 72 |
| О | (63 − 35) : 7 | 4 |
| Б | 68 : 4 | 17 |
| Д | 19 · 4 | 76 |
| Г | 25 · 1 + 25 : 25 | 26 |
| К | 96 : 6 | 16 |
| Ё | 18 · 5 | 90 |
| А | 36 : 1 − 24 · 0 | 36 |
| И | 60 : 5 | 12 |
| Р | 12 · 7 | 84 |
| Л | 80 : 2 + 80 : 40 | 42 |
| П | 36 : 18 | 2 |
| С | 28 · 2 | 56 |
| Ы | 72 − 48 : 6 · 3 | 48 |
| Ш | 99 : 9 | 11 |
| Ъ | 9 + 9 | 18 |
| Н | 4 · (23 − 8) : 10 | 6 |
Ряд чисел, из которого складывается загадка, есть только на картинке. Пришлите фото — расшифрую.
Сравни выражения: a − 25 и a − 20; 5 + 42 + b и b + 24; 306 − c и 360 − c; 270 : d и 27 : d; 81 · x и x · 83 − x; y : 52 и y : 2.
a − 25 < a − 20 — вычитаем больше, остаётся меньше
5 + 42 + b > b + 24 — 47 больше 24
306 − c < 360 − c — из меньшего вычитаем то же
270 : d > 27 : d — делим большее число
81 · x < x · 83 − x — справа x · 82
y : 52 < y : 2 — делим на большее, получаем меньше
В решебнике a − 25 > a − 20. Неверно: если от одного и того же числа отнять больше, останется меньше.
Считаем, что буквы — натуральные числа (не нуль).
а) Длина прямоугольника 17 дм, ширина на 8 дм меньше. Найди площадь и периметр. б) Площадь прямоугольника 290 см², длина 29 см. Найди периметр. в) Периметр квадрата 36 м. Найди его площадь.
а) 17 − 8 = 9 (дм); S = 17 · 9 = 153 (дм²); P = (17 + 9) · 2 = 52 (дм)
б) 290 : 29 = 10 (см); P = (29 + 10) · 2 = 78 (см)
в) 36 : 4 = 9 (м); S = 9 · 9 = 81 (м²)
В решебнике в б) ответ записан в дециметрах — единица неверная, должны быть сантиметры.
Конверт стоит 5 р., марка — m р., m > 5. 1) Верно ли, что конверт дороже марки на (m − 5) р.? 2) Верно ли, что 4 конверта и 6 марок стоят (m · 6 + 20) р.? 3) Могут ли 3 конверта и 2 марки стоить 38 р.?
1) Неверно. Марка дороже (m больше 5), значит, это марка дороже конверта на (m − 5) р.
2) Верно. 4 конверта — 5 · 4 = 20 р., 6 марок — m · 6 р. Всего m · 6 + 20.
3) Не могут. 3 конверта стоят 15 р., тогда на 2 марки остаётся 38 − 15 = 23 р., а 23 на 2 поровну не делится.
В решебнике во 2) «возможно». Это верно при любом m, поэтому ответ — «верно».
В 3) считаем, что марка стоит целое число рублей.
K — множество кругов, C — множество фигур синего цвета. Что представляет собой C ∩ K?
C ∩ K — синие круги: фигуры, которые одновременно и синие, и круглые.
По диаграмме Эйлера–Венна поставь знаки ∈, ∉, ⊂ или ⊄.
∈ / ∉ — для элемента (числа 2): лежит ли он внутри круга. ⊂ / ⊄ — для множества: лежит ли один круг целиком внутри другого.
По решебнику: 2 ∈ A, 2 ∉ B, 2 ∈ D, 2 ∉ E; B ⊂ A, C ⊂ A, D ⊂ C, E ⊄ A. Сверьте с рисунком.
а) Летела стая гусей: один впереди и два позади, один позади и два впереди, один между двумя и три в ряд. Сколько гусей? б) Коля: «Если к моим деньгам прибавить их половину, будет 81 р.» Шура: «Если мама положит в кошелёк ещё треть того, что там есть, будет 68 р.» Сколько денег у каждого?
а) Три гуся летят цепочкой: первому «два позади», последнему «два впереди», средний «между двумя», и все «три в ряд».
Ответ: 3 гуся.
б) Коля. Деньги + половина — это 3 половины. 81 : 3 = 27 — одна половина; 27 · 2 = 54 р.
Шура. Деньги + треть — это 4 трети. 68 : 4 = 17 — одна треть; 17 · 3 = 51 р.
Ответ: у Коли 54 р., в кошельке у Шуры 51 р.
В решебнике у Шуры 102 р. Неверно: 102 + 34 = 136, а не 68. Проверка верного ответа: 51 + 17 = 68.
4999 + 14 700 + 1 + 300
58 300 − (58 290 + 8)
Если к деньгам Пети прибавить их половину, получится 90 р. Сколько денег у Пети?
Периметр квадрата 32 см. Найди его площадь.